八上数学期末必考三角形【动点问题】
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简介
【一】如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处， （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ CD与BE相等。 证明：由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行，所以路程相同，即AD=CE。 ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠A=∠BCE； 在△ADC与CEB中，AD=CE，∠A=∠BCE，AC=CB， ∴△ADC≌△CEB ∴CD=BE 由于t 为任意时刻，所以当t 为任意值时都有CD=BE，即CD和BE始终相等 （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； 证明：由于两只蜗牛以相同速度同时出发，所以路程相同，即AD=CE ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC， ∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD 而由△ABC是等边三角形还可得 AB=CB，∠CBD=∠BAE=120° 在△EAB和△DBC中，AE=BD，∠EAB=∠DBC，AB=BC， ∴△EAB≌△DBC（SAS） ∴∠1=∠4，而∠2=∠3 ∴∠1+∠2=∠3+∠4 又∠CQE=∠1+∠2，∠5=∠3+∠4=60° ∴∠CQE=∠5=60°
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