八下数学必会重难点题型：构造中位线5种常用方法
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简介
方法一 倍长法构造三角形的中位线 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝1/2CF. 证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝1/2AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN. ∴∠BNF＝∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°， ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°. 又∵∠FBA＋∠CBF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABN. 在△BCF和△BAN中， ∴△BCF≌△BAN. ∴CF＝AN. ∴ME＝1/2AN＝1/2CF. 方法二 已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN. 证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝1/2BF，NH＝1/2AE. ∵CE＝CF，CA＝CB， ∴AE＝BF. ∴MH＝NH. ∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点， ∴MH∥BF，NH∥AE. ∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC. ∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN) ＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°. ∴NH＝√2/2MN. ∴AE＝2NH＝2×√2/2MN＝√2MN.
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