八下数学期末压轴必考：四边形中的最值问题
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简介
【一】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，求PB的最小值. 解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝1/2CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝1/2CF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1． ∴BP1＝√2． ∴PB的最小值是√2． 【二】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，求PD+AQ的最小值. 解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC， ∵菱形ABCD的面积为20，边长为5， ∴AM＝4， 在Rt△ABM中，根据勾股定理得： BM=√AB²-AM²=3， 以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系， ∴B（0，0），A（3，4），
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