九年级数学上册 | 期中复习专练【旋转】综合变换
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简介
【一】在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC． （1）如图1，点D在BC上，求证：AD＝BE，AD⊥BE． 证明：如图1，延长AD交BE于F 在△ACD和△BCE中 AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE ∵∠ACB＝90° ∴∠CEB+∠CBE＝∠ACB＝90°， ∴∠AFB＝∠CEB+∠CAD＝∠CEB+∠CBE＝90° ∴AD⊥BE． （2）将图1中的△DCE绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为α（α为锐角），线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN． ①请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明； 解：PM＝PN，PM⊥PN． 理由是：如图2，连接BE，AD，交于点Q， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠OBQ， ∵∠AOC＝∠BOQ， ∴∠BQO＝∠ACO＝90°， ∴AD⊥BE， ∵M是AE的中点，P是ED的中点， ∴PM=1/2AD，PM∥AD，同理得：PN=1/2BE，PN∥BE， ∴PM＝PN，PM⊥PN．
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