八上数学倍长中线（线段）造全等期末专题训练
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简介
【例一】如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长ED至P， 使DP=DE，连接FP，CP， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD. 在△BDE和△CDP中， DP＝DE，∠EDB＝∠CDP，BD＝CD， ∴△BDE≌△CDP， ∴BE=CP， ∵DE⊥DF，DE=DP， ∴EF=FP（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 在△CFP中，CP+CF=BE+CF>FP=EF. 故：EF<BE+FC 【例二】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 解：延长AE至G使AG＝2AE， 连BG，DG,显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD， ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG， 故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 【例三】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F.求证：AF=EF 证明：延长AD至K，使DK=AD，连接BK， ∵D为BC中线， ∴BD=DC， 在△ADC和△KDB中，AD=DK∠1=∠2BD=DC， ∴△ADC≌△KDB， ∴∠3=∠K，AC=BK， 又∵BE=AC，∴BE=BK，∴∠K=∠5， 又∵∠5=∠4， ∴∠3=∠4， ∴AF=EF
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