八上数学截长补短构造全等期末专题训练
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简介
【一】如图，中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD △ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS） ∠ACD＝∠AFD＝90° 即：CD⊥AC 【二】如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE △ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC 【三】如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP，则∠D=∠5． ∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线， ∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC， 又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°． 在△APD与△APC中，∠D=∠D=C，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APD≌△APC（AAS）， ∴AD=AC． ∴AB+BD=AQ+QC， ∴AB+BP=BQ+AQ．
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