九年级上册数学【图形变换】填空压轴题

【一】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 . 解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠ABC＝60°， ∵AT＝TB， ∴BC＝BT， ∵BP＝BQ，∠CBT＝∠PBQ， ∴∠TBP＝∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ＝PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH＝1/2AT＝5， ∴CQ的最小值为5． 【二】如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax²﹣6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是 . 解：∵y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝1或5， 故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（5，0）， 如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G， ∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点， 则点E（1/2，5/2a），AE＝CE＝1/√3ED， ∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°， ∴∠DEG＝∠ECF， ∴△CFE∽△EGD， ∴CF/EG＝CE/ED＝EF/DG＝1/√3， 其中EF＝1/2，CF＝5/2a， 解得：GE＝5√3/2a，DG＝√3/2， 故点D（1/2+5√3/2a，5/2a+√3/2）， BD2＝（5﹣1/2﹣5√3/2a）2+（5/2a+√3/2）² ＝25（a﹣2/5）2+9， 当a＝2/5时，BD最小，BD最小值是3．