八年级上册数学期末压轴大题

【一】在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90°，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法： （1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长. 解：如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点， 由题意可得：∠BAC=90°， ∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°， ∴∠MAB=∠NCA， 在△ABM和△CAN中， ∠AMB=∠CNA，∠MAB=∠NCA，AB=AC， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴AM=CN=2，AN=BM=1， ∴AB=√2²+1²=√5； （2）小林说：“我们可以改变△ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120°，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.” 解：分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点， 在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°， ∵∠BAC=120°， ∴∠MAB+∠NAC=60°， ∵∠ABM+∠MAB=60°， ∴∠ABM=∠NAC， 在△AMB和△CNA中， ∠AMB=∠CNA，∠ABM=∠NAC，AB=AC， ∴△AMB≌△CNA（AAS）， ∴CN=AM， ∵∠AMB=∠ANC=120°， ∴∠PMB=∠QNC=60°， ∴PM=1/2BM，NQ=1/2NC， ∵PB=1，CQ=2， 设PM=a，NQ=b， ∴a²+1²=4a²,b²+2²=4b², 解得：a=√3/3，b=2√3/3， ∴CN=AM=√2²+（2√3/3）²=4√3/3， ∴AB=√AP²+BP²=√（AM+PM）²+BP²=2√21/3；